Cho  x ( t )   {\displaystyle x(t)\ }  là đầu vào của một hệ thống tuyến tính thời gian bất biến tổng quát, và  y ( t )   {\displaystyle y(t)\ }  là đầu ra, và biến đổi Laplace song phương của x ( t )   {\displaystyle x(t)\ }  và  y ( t )   {\displaystyle y(t)\ }  là

Thì đầu ra sẽ tương ứng với đầu vào bởi hàm truyền  H ( s )   {\displaystyle H(s)\ }  như sau

và hàm truyền tự nó sẽ là

Đặc biệt, nếu một tín hiệu hài phức với một thành phần hình sin với biên độ  | X |   {\displaystyle |X|\ } , tần số góc  ω   {\displaystyle \omega \ }  và pha  arg ⁡ ( X )   {\displaystyle \arg(X)\ } , trong đó arg là argument.

với  X = | X | e j arg ⁡ ( X ) {\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}

là đầu vào cho một hệ thống tuyến tính thời gian bất biến, thì thành phần tương ứng ở đầu ra là:

Chú ý là, trong một hệ thống tuyến tính thời gian bất biến, tần số đầu vào  ω   {\displaystyle \omega \ }  không thay đổi, chỉ biên độ thay đổi và góc pha dạng hình sinh thay đổi bởi hệ thống. Đáp ứng tần số   H ( j ω )   {\displaystyle H(j\omega )\ }  miêu tả sự thay đổi này đối với mỗi tần số   ω   {\displaystyle \omega \ }  với độ lợi:

và độ dịch chuyển pha:

Đỗtrễ pha (tức là, số lượng phụ thuộc tần số của độ trễ theo hình sin bởi hàm truyền) là:

Độ trể nhóm (tức là, số lượng phụ thuộc ts của độ trễ theo đường bao hình sin bởi hàm truyền) được tìm ra bằng cách tính đạo hàm của dịch chuyển pha đối với tần số góc với ω   {\displaystyle \omega \ } ,

Hàm truyền cũng có thể được thể hiện bằng cách sử dụng biến đổi Fourier là một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace song phương cho trường hợp  s = j ω {\displaystyle s=j\omega } .

Các họ hàm truyền phổ biến

Trong khi bất kỳ hệ thống LTI nào cũng có thể được mô tả bởi một số hàm truyền này hay khác, có một số "họ" các hàm truyền đặc biệt được sử dụng phổ biến. Các bộ lọc đáp ứng xung vô hạn điển hình được thiết kế để thực hiện một trong những hàm truyền đặc biệt.

Một số họ hàm truyền phổ biến và đặc điểm cụ thể của chúng là:

• Bộ lọc Butterworth – làm phẳng tối đa trong dải thông và dãi dừng với bậc cho trước
• Bộ lọc Chebyshev (loại I) - làm phẳng tối đa trong dãi dừng, cắt sắc nét hơn Butterworth của cùng một bậc
• Bộ lọc Chebyshev (Loại II) – làm phẳng cực đại trong dãi thông, cắt sắc nét hơn Butterworth với cùng bậc
• Bộ lọc Bessel – đáp ứng xung tốt nhất cho một bậc cho trước bởi vì chúng không có gợn trễ nhóm
• Bộ lọc Elliptic - cắt sắc nét nhất (chuyển tiếp hẹp nhất giữa dãi thông và dãi dừng) với bậc cho trước
• Bộ lọc "L" tối ưu
• Bộ lọc Gauss – độ trễ nhóm tối thiểu; không có độ vọt lố đối với hàm bước.
• Bộ lọc Hourglass 
• Bộ lọc cos tăng